固有値 wikipedia|無料辞書
固有ベクトルであり、青い矢印は固有ベクトルではない。ここで赤い矢印は伸張も収縮もしていないので、この
固有値は 1 である。このベクトルと平行なすべてのベクトルは固有ベクトルである。ゼロベクトルも含めて、これらのベクトルはこの固有値に対する
固有空間を形成する。">
線型代数学において、
線型変換の特徴を表す指標として
固有値 や
固有ベクトル がある。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを
固有値問題 という。
ヒルベルト空間論において
線型作用素 あるいは
線型演算子 と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数における
スペクトルの意味でもしばしば使われる。
◆歴史
現在では、固有値の概念は
行列論とからめて導入されることが多いものの、歴史的には
二次形式や
微分方程式の研究から生じたものである。
18世紀初頭、
ヨハン・ベルヌーイと
ダニエル・ベルヌーイ、
ダランベール および
オイラーらは、いくつかの質点がつけられた重さのない弦の運動を研究しているうちに固有値問題につきあたった。18世紀後半に、
ラプラスと
ラグランジュはこの問題をさらに研究し、弦の運動の安定性には固有値が関係していることをつきとめた。彼らはまた固有値問題を
太陽系の研究にも適用している
[Hawkins (1975), §2; Kline (1972), pp. 807+808 を参照のこと。]。
オイラーはまた
剛体の回転についても研究し、
主軸の重要性に気づいた。ラグランジュがこの後発見したように、主軸は慣性行列の固有ベクトルである
[Hawkins (1975), §2 を参照。]。19世紀初頭には、
コーシーがこの研究を
二次曲面の分類に適用する方法を示し、その後一般化して任意次元の二次超曲面の分類を行った
[Hawkins (1975), §3 を参照。]。コーシーはまた (特性根)という言葉も考案し、これが今日「固有値」と呼ばれているものである。彼の単語は「
特性方程式 」という用語の中に生きている
[Kline (1972), pp. 807+808 を参照。]。
フーリエは、1822年の有名な著書 の中で、
変数分離による
熱方程式の解法においてラプラスとラグランジュの結果を利用している
[クライン (1972), p. 673 を参照。]。
スツルムはフーリエのアイデアをさらに発展させ、これにコーシーが気づくことになった。コーシーは彼自身のアイデアを加え、すべての対称行列は実数の固有値を持つという事実を発見した
。この事実は、
1855年に
エルミートによって、今日
エルミート行列と呼ばれる概念に対して拡張された
。ほぼ同時期に
ブリオスキは
直交行列の固有値全てが
単位円上に分布することを証明し
、
クレープシュが
歪対称行列に関して対応する結果を得ている
。最終的に、
ワイエルシュトラスが、ラプラスの創始した安定論 の重要な側面を、不安定性の引き起こす
不完全行列を構成することによって明らかにした
。
20世紀初頭、
ヒルベルトは、
積分作用素を無限次元の行列と見なしてその固有値について研究した
[クライン (1972), p. 1063.]。ヒルベルトは、
ヘルムホルツの関連する語法に従ったのだと思われるが、固有値や固有ベクトルを表すために
ドイツ語の を冠した最初の人であり、それは1904年のことである。ドイツ語 "eigen" は「独特の」「特有の」「特徴的な」「個性的な」といったような意味があり、固有値は特定の変換に特有の性質というものを決定付けるということが強調されている。英語の標準的な用語法で "proper value" ということもあるが、印象的な "eigenvalue" のほうが今日では標準的に用いられる
[アルドリッチ (2006).]。
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