前のページ 1/1 次のページ

波動方程式(はどうほうていしき、Wave equation)は、波(波動)を記述するための微分方程式(最も基本的な二階の双曲型偏微分方程式の一つ)である。まず座標と時間に関しての未知の関数 u を考える。

:$u\; =\; u(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n,\; t)$

ここで、x₁, x₂, ...,x_n は、n 次元の座標、t は時間である。この u に関する以下の式;

:

が波動方程式である。s は、s > 0 の適当な係数であり、波動方程式で扱う波の伝播する速さに相当する。Δ はラプラシアンで、

:

である。上の波動方程式において、

:

のように、ラプラシアンΔをミンコフスキー空間に拡張した、ダランベールの演算子(ダランベルシアン)を使うと波動方程式は、

:$\backslash square\; u\; =\; 0$

と表現できる。この波動方程式を使って、波(波動)や電磁波を記述することができる。尚、関数 u を座標と時間に関して変数分離すると、ヘルムホルツ方程式、

:$\backslash triangle\; u\; +\; \backslash kappa^2\; u\; =\; 0$

が得られる。κ² は、κ² > 0 の適当な係数である。この方程式を、還元された波動方程式と言うことがある。

◆ 量子力学での波動方程式

波動力学ではシュレーディンガー方程式や、ディラック方程式などを波動方程式と言う。

時間を含まないシュレーディンガー方程式は、

:

であり、これは先の還元された波動方程式と同じ形をしている。ここで、Ψ(プサイ)は波動関数、m はある質点(電子などと考えてもよい)の質量、E は固有値、V はポテンシャルである。また、$\backslash hbar\; =\; h\; /\; 2\; \backslash pi$ であり、h はプランク定数である。

また、光子(→電磁波)を考えると光子のエネルギー E は、E = cp であり(c は光速、p は運動量)、E² = c²p²として、E と p を量子化すると(q を座標とする)、

:

となり、両辺に光子に関しての波動関数 Φ(ファイ)を置くと、

:

となる。余計な係数を落とすと、

:

を得る。これは波動方程式となっている。一方、任意の質点(普通は電子)を出発点とする場合、E = p²/2m を量子化することとなり、これからは時間を含むシュレーディンガー方程式が出てくる。この式では時間の微分が二階ではなく、一階微分になっている。

◆ 関連項目

・物理学

・エルヴィン・シュレーディンガー

・ポアソン方程式

・ラプラス方程式

前のページ 1/1 次のページ

・波動方程式 page1